Soal kerja bersama memberi tahu berapa lama setiap orang (atau mesin, keran, pompa) menyelesaikan pekerjaan sendirian, lalu bertanya berapa lama jika mereka bekerja bersama. Bedanya dengan soal jumlah pekerja biasa: di sini setiap orang punya kecepatan yang berbeda.
Kesalahan paling umum adalah menjumlahkan atau merata-ratakan waktunya. Kalau Andi butuh 6 jam dan Budi 3 jam, jawabannya jelas bukan 9 jam dan bukan 4,5 jam. Bekerja bersama pasti lebih cepat daripada bekerja sendirian.
Inti konsep: yang dijumlahkan adalah kecepatan, bukan waktu
Kalau seseorang menyelesaikan pekerjaan dalam a jam, maka setiap jam ia mengerjakan \dfrac{1}{a} bagian pekerjaan. Itulah kecepatan kerjanya.
\text{Kecepatan bersama} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dots
\text{Waktu bersama} = \dfrac{1}{\text{kecepatan bersama}}
Kalau ada yang merusak pekerjaan, misalnya pipa penguras, kecepatannya dikurangkan.
Cara 1: cara sekolah dengan pecahan
Contoh: Andi mengecat dinding dalam 6 jam, Budi dalam 3 jam.
- Andi: \dfrac{1}{6} bagian per jam. Budi: \dfrac{1}{3} bagian per jam.
- Bersama: \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} bagian per jam.
- Waktu bersama = 1 \div \dfrac{1}{2} = 2 jam.
Cara ini selalu benar dan menjadi dasar semua cara lain.
Cara 2: rumus cepat untuk dua orang
Kalau hanya ada dua orang, langsung pakai:
\text{Waktu bersama} = \dfrac{a \times b}{a + b}
Untuk Andi dan Budi: \dfrac{6 \times 3}{6 + 3} = \dfrac{18}{9} = 2 jam. Mudah diingat: kali dibagi jumlah.
Kalau yang ditanya justru waktu salah satu orang, gunakan pengurangan: \dfrac{1}{\text{orang kedua}} = \dfrac{1}{\text{bersama}} - \dfrac{1}{\text{orang pertama}}, atau rumus cepat \dfrac{a \times T}{a - T}, dengan T waktu bersama dan a waktu orang yang diketahui.
Cara 3: trik KPK (anggap total pekerjaan berupa unit)
Ini cara yang paling cepat untuk tiga orang atau lebih, dan menghindari pecahan sama sekali.
- Anggap total pekerjaan = KPK dari semua waktu.
- Hitung berapa unit yang dikerjakan setiap orang per jam.
- Jumlahkan unitnya, lalu bagi total pekerjaan dengan jumlah itu.
Untuk Andi dan Budi: KPK dari 6 dan 3 adalah 6. Anggap dinding = 6 unit. Andi 1 unit per jam, Budi 2 unit per jam. Bersama 3 unit per jam, jadi 6 \div 3 = 2 jam.
Cara 4: intuisi dan perkiraan untuk mencoret pilihan
Sebelum menghitung, pakai dua aturan ini:
- Waktu bersama selalu lebih kecil dari waktu orang tercepat. Kalau Budi sendirian 3 jam, bersama pasti kurang dari 3 jam. Pilihan 3 jam, 4,5 jam, dan 9 jam langsung dicoret.
- Kalau keduanya sama cepat, waktunya tepat setengah. Dua orang yang masing-masing 6 jam akan selesai dalam 3 jam. Jadi kalau satu orang 6 jam dan yang lain lebih cepat, jawabannya pasti di bawah 3 jam. Kalau yang lain lebih lambat, jawabannya di antara 3 dan 6 jam.
Untuk pipa penguras, kebalikannya: kolam penuh lebih lama daripada kalau hanya pipa pengisi yang dibuka.
Contoh pembahasan
Coba kerjakan dulu soal berikut sebelum membaca penyelesaiannya.
Cara pecahan.
\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}
Kecepatan bersama \dfrac{1}{3} pekerjaan per hari, jadi pekerjaan selesai dalam 3 hari.
Cara KPK. KPK dari 6, 8, dan 24 adalah 24. Anggap pekerjaan = 24 unit.
| Orang | Waktu sendiri | Unit per hari |
|---|---|---|
| Pertama | 6 hari | 24 \div 6 = 4 |
| Kedua | 8 hari | 24 \div 8 = 3 |
| Ketiga | 24 hari | 24 \div 24 = 1 |
| Bersama | 8 unit per hari |
Waktu = 24 \div 8 = 3 hari. Tanpa pecahan sama sekali.
Cek dengan intuisi. Orang tercepat butuh 6 hari, jadi jawabannya harus kurang dari 6 hari. Pilihan 12 hari langsung salah. Dua orang pertama saja sudah hampir setengah dari 6 hari, ditambah orang ketiga yang lambat, jadi jawaban sekitar 3 hari masuk akal.
Langkah kerja saat ujian
- Baca siapa yang bekerja sendirian, siapa yang bekerja bersama, dan apakah ada yang menguras atau merusak.
- Untuk dua orang, pakai rumus \dfrac{a \times b}{a + b}. Untuk tiga orang atau lebih, pakai trik KPK.
- Kalau ada perubahan di tengah jalan, hitung dulu unit yang sudah selesai, lalu bagi sisanya dengan kecepatan yang baru.
- Perhatikan satuan yang ditanya, misalnya jam atau menit.
- Cek: waktu bersama harus lebih kecil dari waktu orang tercepat.
Latihan
Kerjakan lima soal berikut. Petunjuk singkat:
- Soal pertama: yang dicari waktu salah satu orang. Kurangkan kecepatannya, jangan dijumlahkan.
- Soal kedua: ada pipa penguras. Kecepatannya dikurangkan.
- Soal ketiga: dua pengisi dan satu penguras. Pakai trik KPK dengan unit positif dan negatif.
- Soal keempat: satu orang bekerja sendirian dulu. Hitung unit yang sudah selesai, lalu bagi sisanya dengan kecepatan berdua.
- Soal kelima: mereka bekerja bersama dulu, lalu satu orang melanjutkan sendirian.
