Soal jumlah pecahan di TPA kadang terlihat seperti harus menjumlahkan puluhan suku satu per satu. Padahal banyak di antaranya bisa diselesaikan dengan pola teleskopik: suku-suku saling menghapus, dan yang tersisa hanya dua ujung.
Inti polanya
Perhatikan identitas berikut:
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
Setiap pecahan dengan penyebut hasil kali dua bilangan berurutan dapat dipecah menjadi selisih dua pecahan. Ketika pecahan-pecahan seperti ini dijumlahkan berurutan, suku tengah saling menghapus.
Contoh dengan tiga suku:
\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4}
Setiap suku dipecah:
\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)
Yang tersisa hanya 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.
Langkah kerja di hari ujian
- Cari pola penyebut. Apakah setiap penyebut berbentuk hasil kali dua bilangan berurutan?
- Pecah setiap suku menjadi selisih dua pecahan.
- Tuliskan beberapa suku pertama dan terakhir untuk melihat suku yang saling menghapus.
- Hitung sisa dari ujung pertama dan ujung terakhir.
Untuk jumlah sampai n suku, hasilnya selalu 1 - \dfrac{1}{n+1} jika penyebutnya k(k+1) dari k = 1.
Contoh pembahasan
Langkah 1. Penyebut setiap suku berbentuk hasil kali dua bilangan berurutan, sehingga pola teleskopik bisa dipakai.
Langkah 2. Pecah setiap suku menjadi selisih. Suku tengah saling menghapus.
Langkah 3. Hitung sisanya dari ujung pertama dan ujung terakhir.
Langkah 4. Periksa dengan menjumlahkan dua atau tiga suku pertama secara biasa. Jika hasilnya sama dengan rumus, jawabanmu benar.
Cara memeriksa pilihan. Bandingkan hasil rumus dengan hasil penjumlahan beberapa suku pertama. Jika cocok, pilih jawaban yang sesuai dengan hasil tersebut.
Kesalahan yang sering terjadi
- Lupa suku terakhir. Sisa dari ujung terakhir harus tetap dihitung.
- Salah menentukan jumlah suku. Dari k = 1 sampai k = 9 ada sembilan suku, bukan sepuluh.
- Menganggap pola berlaku untuk semua penyebut. Pastikan penyebut benar-benar berupa hasil kali dua bilangan berurutan.
Latihan
Kerjakan dengan memecah setiap suku, lalu periksa hasilnya dengan menjumlahkan beberapa suku pertama.
