Konsep Dasar Lingkaran

Pendahuluan

1. Definisi: Lingkaran adalah himpunan titik yang semua berjarak sama dari satu titik tetap (pusat).
2. Elemen-elemen Lingkaran:
   • Pusat Lingkaran (O): Titik tetap yang menjadi acuan jarak pada lingkaran.
   • Jari-jari (r): Jarak dari pusat ke tepi lingkaran.
   • Diameter (d): Garis lurus melalui pusat yang menghubungkan dua titik pada tepi lingkaran. Diameter adalah dua kali jari-jari \( d = 2r \).
   • Busur: Bagian keliling lingkaran.
   • Tali busur: Garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

Rumus-Rumus Penting

$$ \text{Keliling Lingkaran (K)} : K = 2\pi r \text{ atau } K = \pi d. $$ $$ \text{Luas Lingkaran (L)} : L = \pi r^2. $$ $$ \text{Luas Sektor Lingkaran} : L = \left(\frac{\theta}{360}\right) \times \pi r^2 $$

Dimana \(theta\) adalah sudut pusat dari sektor tersebut dalam derajat.

$$ \text{Panjang Busur} : P = \left(\frac{\theta}{360}\right) \times 2\pi r $$

Phi (π)

Phi (π) adalah konstanta matematika yang menggambarkan perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya. Nilainya adalah sekitar 3,14159 dan konstan untuk semua lingkaran.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

1. Menghitung Keliling: Jari-jari 7 cm, kelilingnya adalah \( 2\pi \times 7 \, \text{cm} \approx 44 \, \text{cm} \).
2. Menghitung Luas: Diameter 10 cm, luasnya adalah \( \pi \times \left( \frac{10}{2} \right)^2 \, \text{cm}^2 \approx 78,5 \, \text{cm}^2 \).
3. Menghitung Panjang Busur: Jari-jari lingkaran 10 cm, sudut sektor 60°. Panjang busur adalah \( \left( \frac{60}{360} \right) \times 2\pi \times 10 \, \text{cm} \approx 10,47 \, \text{cm} \).
4. Menghitung Luas Sektor: Dengan jari-jari dan sudut yang sama seperti contoh sebelumnya, luas sektor adalah \( \left( \frac{60}{360} \right) \times \pi \times 10^2 \, \text{cm}^2 \approx 52,36 \, \text{cm}^2 \).

Contoh Soal Terkait Kehidupan Sehari-hari

1. Pembuatan Taman: Taman setengah lingkaran dengan diameter 14 m. Berapa luasnya?
   • Luas setengah lingkaran = \( \frac{1}{2} \times \pi \times \left( \frac{14}{2} \right)^2 = 77 \, \text{m}^2 \).
2. Perlengkapan Olahraga: Lintasan lari melingkar dengan jari-jari 25 m. Berapa panjangnya?
   • Panjang lintasan = \( 2\pi \times 25 \, \text{m} \approx 157 \, \text{m} \).
3. Desain Kolam Renang: Kolam renang berbentuk sektor lingkaran dengan jari-jari 8 m dan sudut 90°. Berapa luas kolam tersebut?
   • Luas sektor = \( \left( \frac{90}{360} \right) \times \pi \times 8^2 = 50,27 \, \text{m}^2 \).
4. Pembuatan Pagar: Pagar setengah lingkaran mengelilingi taman. Jika diameter taman adalah 20 m, berapa panjang pagar yang dibutuhkan?
   • Panjang pagar = \( \frac{1}{2} \times \pi \times 20 \, \text{m} \approx 31,42 \, \text{m} \).